В Бершадь через Умань наверное не самый удачный маршрут...
Тут либо из Днепропетровска до Умани автобусом (рейсы Днепропетровск-Умань, Днепропетровск-Винница, Днепропетровск-Черновцы), но все прибывают в Умань уже в вечернее время.
Либо поездами Запорожье-Одесса, Одесса-Умань. Но поездка может затянуться на трое суток. Есть еще автобус Одесса-Бершадь, но из Одессы он выходит рано утром, а поезд из Запорожья прибывает в одиннадцатом часу.
Мне кажется проще ехать через Винницу. До Винницы из Запопрожья доедете любым поездом на Львов (Запорожье-Львов или Новоалексеевка-Львов). Оба поезда приходят рано утром: первый - в 5-17, а второй - в 6-37.
С Винницы до Бершади автобусы ходят как минимум раз в час (рейсы Винница-Бершадь, Винница-Николаев, Винница-Шляховая). Отправление с центрального автовокзала Винницы (ул. Киевская, 8). Телефон справочной: 043-2671345
Например Винница-Бершадь отправление 05-55, прибывает в Бершадь в 09-10, стоимость проезда 71,55 грн.
Винница-Николаев, 06-45, прибывает в 11-10, 91 грн
Винница-Бершадь, 07-45, прибывает в Бершадь в 10-55, 71,55 грн.
Винница-Шляхова, 08-50, прибывает в 12-25, 76,15 грн
Насчет автобусный рейсов, думаю, обязательно уточнить в справочной.