Здравствуйте, Blond12.
Ну дешевле всего поездом. Но прямого поезда уже нет. В мае прошлого года Укрзализныця соптимизировала поезда так что вообще кроме Киева, Львова и Харькова фиг куда из Мариуполя доберешся :(
Получается ехать нужно с пересадками. Лучше всего подходит поезд Екатеринбург-Симферополь. Ехать нужно до станции Ясиноватая. Поезд прибывает в 23:20. Из Ясиноватой ходят прямые электрички до Мариуполя (где-то 4 часа езды). Как раз к утру будете в Мариуполе. Обратно ехать тоже вполне нормально. В 2:02 из Ясиноватой на Уфу. Автобусом прямым на Мариуполь не получится - из Ясиноватой до Донецка, из Донецка до Мариуполя (да и ночью автобусы не ходят).
Электричка из Ясиноватой отправляется в 3:15, прибывает в Мариуполь в 7:00.
Электричка из Мариуполя отправляется в 20:20, прибывает в Ясиноватую в 0:00.
Если этот вариант не устраивает, тогда поездами Уфа-Одесса или Челябинск-Одесса до Харькова. Эти поезда ходят в разные дни, но с одинаковым расписанием и прибывают в Харьков в 18:59. В Харькове персадка на Харьков-Мариуполь (отправляется в 22:15, прибывает в Мариуполь в 08:38). Обратно аналогично: Мариуполь-Харьков в 18:17 из Мариуполя, прибывает в Харьков в 5:00, а в 10:30 позда Одесса-Уфа или Одесса-Челябинск.
Еще можно через Москву. Смотрите поезд Москва-Мариуполь.
Если эти варианты не устраивают, ищите как добраться до Ростова/Таганрога. От Ростова до Мариуполя 3 часа на автобусе. Автобусов ходит предостаточно (в основном транзит на Крым, Одессу, Молдавию).